1. 一副扑克牌共 54 张，最上面的一张是红桃 K。如果每次把最上面的 12 张牌 移到最下面而不改变它们的顺序及朝向，那么，至少经过多少次移动，红桃 K 才会又出现在最上面？

解：因为[54，12]=108，所以每移动 108 张牌，又回到原来的状况。又因为每 次移动 12 张牌，所以至少移动 108÷12=9（次）。

2. 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的 7 倍，过几年是你的 6 倍，再过若干 年就分别是你的 5 倍、4 倍、3 倍、2 倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？

解：爷爷 70 岁，小明 10 岁。提示：爷爷和小明的年龄差是 6，5，4，3，2 的 公倍数，又考虑到年龄的实际情况，取公倍数中最小的。（60 岁）

3. 某质数加 6 或减 6 得到的数仍是质数，在 50 以内你能找出几个这样的质数？ 并将它们写出来。

解：11，13，17，23，37，47。

4. 在放暑假的 8 月份，小明有五天是在姥姥家过的。这五天的日期除一天是合 数外，其它四天的日期都是质数。这四个质数分别是这个合数减去 1，这个合数 加上 1，这个合数乘上 2 减去 1，这个合数乘上 2 加上 1。问：小明是哪几天在 姥姥家住的？

解：设这个合数为 a，则四个质数分别为（a－1），（a＋1），（2a－1），（2a ＋1）。因为（a－1）与（a＋1）是相差 2 的质数，在 1～31 中有五组：3，5； 5，7；11，13；17，19；21，31。经试算，只有当 a＝6 时，满足题意，所以 这五天是 8 月 5，6，7，11，13 日。 5. 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三 个数字相同的三位数。求这两个整数。 解：3，74；18，37。 提示：三个数字相同的三位数必有因数 111。因为 111＝3×37，所以这两个整 数中有一个是 37 的倍数（只能是 37 或 74），另一个是 3 的倍数。 6. 在一根 100 厘米长的木棍上，从左至右每隔 6 厘米染一个红点，同时从右至 左每隔 5 厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开。问：长度是 1 厘 米的短木棍有多少根？ 解：因为 100 能被 5 整除，所以可以看做都是自左向右染色。因为 6 与 5 的最 小公倍数是 30，即在 30 厘米处同时染上红点，所以染色以 30 厘米为周期循环 出现。一个周期的情况如下图所示：

由上图知道，一个周期内有 2 根 1 厘米的木棍。所以三个周期即 90 厘米有 6 根， 最后 10 厘米有 1 根，共 7 根。

7. 某种商品按定价卖出可得利润 960 元，若按定价的 80％出售，则亏损 832 元。问：商品的购入价是多少元？

解：8000 元。按两种价格出售的差额为 960＋832=1792（元），这个差额是 按定价出售收入的 20％，故按定价出售的收入为 1792÷20％=8960（元），其 中含利润 960 元，所以购入价为 8000 元。

8. 甲桶的水比乙桶多 20％，丙桶的水比甲桶少 20％。乙、丙两桶哪桶水多？

解：乙桶多。

9. 学校数学竞赛出了 A，B，C 三道题，至少做对一道的有 25 人，其中做对 A 题的有 10 人，做对 B 题的有 13 人，做对 C 题的有 15 人。如果二道题都做对 的只有 1 人，那么只做对两道题和只做对一道题的各有多少人？

解：只做对两道题的人数为（10＋13＋15） -25 -2×1＝11（人），只做对一 道题的人数为 25－11－1=13（人）。

10. 学校举行棋类比赛，设象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加两项。根据报 名的人数，学校决定对象棋的前六名、围棋的前四名和军棋的前三名发放奖品。 问：最多有几人获奖？最少有几人获奖？

解：共有 13 人次获奖，故最多有 13 人获奖。又每人最多参加两项，即最多获 两项奖，因此最少有 7 人获奖。

11. 在前 1000 个自然数中，既不是平方数也不是立方数的自然数有多少个？ 解：因为 312＜1000＜322，103＝1000，所以在前 1000 个自然数中有 31 个 平方数，10 个立方数，同时还有 3 个六次方数（16，26，36）。所求自然数共 有 1000－（31＋10）＋3＝962（个）。 12. 用数字 0，1，2，3，4 可以组成多少个不同的三位数（数字允许重复）？ 解：4*5*5=100 个 13. 要从五年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体各一个，有多少种不 同的评选结果？ 解：6*6*6=216 种 14. 已知 15120=24×33×5×7，问：15120 共有多少个不同的约数？ 解：15120 的约数都可以表示成 2a×3b×5c×7d 的形式，其中 a=0，1，2，3， 4，b=0，1，2，3，c=0，1，d=0，1，即 a，b，c，d 的可能取值分别有 5， 4， 2， 2 种，所以共有约数 5×4×2×2=80（个）。 15. 大林和小林共有小人书不超过 50 本，他们各自有小人书的数目有多少种可 能的情况？ 解：他们一共可能有 0～50 本书，如果他们共有 n 本书，则大林可能有书 0～n 本，也就是说这 n 本书在两人之间的分配情况共有（n＋1）种。所以不超过 50 本书的所有可能的分配情况共有 1＋2＋3…＋51=1326（种）。

16. 在右图中，从 A 点沿线段走最短路线到 B 点，每次走一步或两步，共有多 少种不同走法？（注：路线相同步骤不同，认为是不同走法。）

解：80 种。提示：从 A 到 B 共有 10 条不同的路线，每条路线长 5 个线段。每 次走一个或两个线段，每条路线有 8 种走法，所以不同走法共有 8×10=80 （种）。 17.有五本不同的书，分别借给 3 名同学，每人借一本，有多少种不同的借法？ 解：5*4*3=60 种 18．有三本不同的书被 5 名同学借走，每人最多借一本，有多少种不同的借法？ 解：5*4*3=60 种 19. 恰有两位数字相同的三位数共有多少个？ 解：在 900 个三位数中，三位数各不相同的有 9×9×8＝648（个），三位数全 相同的有 9 个，恰有两位数相同的有 900—648—9=243（个）。 20. 从 1，3，5 中任取两个数字，从 2，4，6 中任取两个数字，共可组成多少 个没有重复数字的四位数？ 解：三个奇数取两个有 3 种方法，三个偶数取两个也有 3 种方法。共有 3×3×4！ =216（个）。 21. 左下图中有多少个锐角？

解：C(11,2)=55 个 22. 10 个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？ 解:c(10,2)-10=35 种 23. 一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供 27 头牛吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周。那么可供 21 头牛吃几周？ 解：将 1 头牛 1 周吃的草看做 1 份，则 27 头牛 6 周吃 162 份，23 头牛 9 周吃 207 份，这说明 3 周时间牧场长草 207-162＝45（份），即每周长草 15 份， 牧场原有草 162－15×6＝72（份）。21 头牛中的 15 头牛吃新长出的草，剩下 的 6 头牛吃原有的草，吃完需 72÷6＝12（周）。 24. 有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干， 10 台抽水机需抽 8 时，8 台抽水机需抽 12 时。如果用 6 台抽水机，那么需抽多少小时？ 解：将 1 台抽水机 1 时抽的水当做 1 份。泉水每时涌出量为 （8×12-10×8）÷（12-8）=4（份）。 水池原有水（10-4）×8＝48（份），6 台抽水机需抽 48÷（6-4）=24（时）。 25. 规定 a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5。 解：2*3=(3+2)*3=15

15*5=(15+5)*5=100

26. 1！+2！+3！+…+99！的个位数字是多少？ 解：1！+2！+3！+4！=1+2+6+24=33 从 5！开始，以后每一项的个位数字都是 0 所以 1！+2！+3！+…+99！的个位数字是 3。 27（1）．有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号。在 200 个信号中至少有多少个信号完全相同？ 解：4*4*4=64 200÷64=3……8 所以至少有 4 个信号完全相同。 （2）在今年入学的一年级新生中有 370 多人是在同一年出生的。试说明：他们 中至少有 2 个人是在同一天出生的。 解：因为一年最多有 366 天，看做 366 个抽屉 因为 370>366,所以根据抽屉原理至少有 2 个人是在同一天出生的。 28. 从前 11 个自然数中任意取出 6 个，求证：其中必有 2 个数互质。

证明：把前 11 个自然数分成如下 5 组 （1，2，3）（4，5）（6，7）（8，9）（10，11） 6 个数放入 5 组必然有 2 个数在同一组，那么这两个数必然互质。 29. 小明去爬山，上山时每时行 2.5 千米，下山时每时行 4 千米，往返共用 3.9 时。小明往返一趟共行了多少千米？

30. 长江沿岸有 A，B 两码头，已知客船从 A 到 B 每天航行 500 千米，从 B 到 A 每天航行 400 千米。如果客船在 A，B 两码头间往返航行 5 次共用 18 天，那 么两码头间的距离是多少千米？ 解：800 千米。 提示：从 A 到 B 与从 B 到 A 的速度比是 5∶4，从 A 到 B 用 31. 请在下式中插入一个数码，使之成为等式： 1×11×111= 111111 解答：91*11*111=111111 32．甲、乙、丙三数的和是 100，甲数除以乙数与丙数除以甲数的结果都是商 5 余 1。问：乙数是多少？ 解：设乙数是 x，那么甲数就是 5x+1 丙数是 5(5x+1)+1=25x+6 因此 x+5x+1+25x+6=10031x=93 x=3

所以乙数是 3 33．12345654321×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1)是哪个数的平方 解：12345654321=111111 的平方 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36=6 的平方 所以原式=666666 的平方。 34.某剧院有 25 排座位，后一排比前一排多 2 个座位，最后一排有 70 个座位。 问：这个剧院一共有多少个座位？ 解：第一排有 70-24*2=22 个座位 所以总座位数是(22+70)*25/2 =1150 35. 某城市举行小学生数学竞赛，试卷共有 20 道题。评分标准是：答对一道给 3 分，没答的题每题给 1 分，答错一道扣 1 分。问：所有参赛学生的得分总和是 奇数还是偶数？为什么？ 解：一定是偶数，因为每个人 20 道题得分都分别是奇数，20 个奇数的和一定是 偶数。每个人的得分都是偶数，所以无论有多少参赛学生，参赛学生的得分总和 一定是偶数。 36. 可以分解为三个质数之积的最小的三位数是几？ 解：102=2*3*17

37. 两个质数的和是 39，求这两个质数的积。 解：注意到奇偶性可以知道这 2 个质数分别是 2 和 37 它们的乘积是 2*37=74 38. 有 1，2，3，4，5，6，7，8，9 九张牌，甲、乙、丙各拿了三张。甲说： “我的三张牌的积是 48。”乙说：“我的三张牌的和是 15。”丙说：“我的三 张牌的积是 63。”问：他们各拿了哪三张牌？ 解：63=7*1*9 所以丙拿的 1，7，9 48=2*3*8 所以甲拿的 2，3，8 4+5+6=15 因此乙拿的是 4，5，6 39. 四个连续自然数的积是 3024，求这四个数。 解：考虑末尾数字，1*2*3*4 末尾是 4 6*7*8*9 末尾也是 4 其他情况下末尾都是 011*12*13*14=24024 太大 6*7*8*9=3024 刚好 所以这 4 个数是 6，7，8，9 40. 证明：任何一个三位数，连着写两遍得到一个六位数，这个六位数一定能被 7，11，13 整除。 解：该数形如 ABCABC=ABC*1001

1001=7*11*13 所以这个六位数一定能被 7，11，13 整除。 41．在 1～100 中，所有的只有 3 个约数的自然数的和是多少？ 解：4+9+25+49=87 42. 有一种电子钟，每到正点响一次铃，每过九分钟亮一次灯。如果中午 12 点 整它既响铃又亮灯，那么下一次既响铃又亮灯是什么时间？ 解：[60,9]=180 180/60=3 下次是下午 3 点钟。 43. 有一个数除以 3 余 2，除以 4 余 1。问：此数除以 12 余几？ 解：除以 3 余 2 的数是 2，5，8，11，14。。。。。。 除以 4 余 1 的数是 1，5，9，。。。。。。 所以此数除以 12 余 5 44. 把 16 拆成若干个自然数的和，要求这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？ 解：16=3+3+3+3+2+2 乘积是 3*3*3*3*2*2=324 45. 小明按 1～ 3 报数，小红按 1～ 4 报数。两人以同样的速度同时开始报数， 当两人都报了 100 个数时，有多少次两人报的数相同？

解：每 12 次作为一个周期 123123123123 123412341234 每个周期两人有 3 次报的数一样 100=12*8+4 所以两个人有 8*3+3=27 次报的数相同。 46. 某自然数加 10 或减 10 皆为平方数，求这个自然数。 解：设这个数是 x x+10=m^2 x-10=n^2 m^2-n^2=20 (m+n)(m-n)=20 m=6,n=4 所以 x=6^2-10=26 47. 已知某铁路桥长 1000 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完 全下桥共用 120 秒，整列火车完全在桥上的时间为 80 秒。求火车的速度和长度。 解：120 秒行驶的距离是桥长+车长

80 秒行驶的距离是桥长-车长 所以 80(1000+车长)=120（1000-车长） 车长=200 米 火车的速度是 10 米/秒 48. 甲、乙二人按顺时针方向沿圆形跑道练习跑步，已知甲跑一圈要 12 分，乙 跑一圈要 15 分，如果他们分别从圆形跑道直径的两端同时出发，那么出发后多 少分甲追上乙？ 解：(1/2)/(1/12-1/15)=(1/2)/(1/60)=30 分钟 49. 甲、乙比赛乒乓球，五局三胜。已知甲胜了第一局，并最终获胜。问：各局 的胜负情况有多少种可能？ 解：甲 甲 甲 甲甲乙甲 甲甲乙乙甲 甲乙甲甲 甲乙甲乙甲 甲乙乙甲甲 经枚举发现共有 6 种可能。

50. 甲、乙二人 2 时共可加工 54 个零件，甲加工 3 时的零件比乙加工 4 时的 零件还多 4 个。问：甲每时加工多少个零件？ 解：甲乙二人一小时共可加工零件 27 个 设甲每小时加工 x 个，那么乙每小时加工 27-x 个 根据条件得 3x=4(27-x)+4 7x=112 x=16 答：甲每小时加工零件 16 个。